Contoh soal kelas 11 semester 2 bab 2

Menguasai Pola Bilangan: Contoh Soal Kelas 11 Semester 2 Bab 2 dan Pembahasannya Mendalam

Semester genap di kelas 11 seringkali menjadi penentu penting dalam penguasaan materi matematika. Salah satu bab yang krusial dan sering muncul dalam berbagai ujian adalah pola bilangan. Bab ini tidak hanya menguji kemampuan identifikasi pola, tetapi juga kemampuan analisis, penalaran logis, dan penerapan rumus. Artikel ini akan membahas secara mendalam contoh-contoh soal dari Bab 2 Pola Bilangan untuk siswa kelas 11 semester 2, lengkap dengan strategi penyelesaian dan penjelasannya, dengan target panjang artikel mencapai 1.200 kata.

Pendahuluan: Mengapa Pola Bilangan Begitu Penting?

Pola bilangan adalah fondasi penting dalam matematika. Kemampuan mengenali, memprediksi, dan menganalisis pola memungkinkan kita untuk memahami konsep-konsep yang lebih kompleks, mulai dari deret aritmetika dan geometri hingga kalkulus. Dalam kehidupan sehari-hari pun, kita sering berhadapan dengan pola, seperti dalam jadwal kegiatan, pertumbuhan populasi, atau bahkan dalam desain arsitektur. Oleh karena itu, penguasaan bab pola bilangan di kelas 11 bukan sekadar memenuhi kurikulum, tetapi juga melatih kemampuan berpikir analitis yang esensial.

Bab 2 Pola Bilangan biasanya mencakup beberapa sub-topik utama, yaitu:

1. Barisan dan Deret Aritmetika: Melibatkan perbedaan konstan antar suku.
2. Barisan dan Deret Geometri: Melibatkan rasio konstan antar suku.
3. Pola Bilangan Tingkat Dua dan Seterusnya: Pola yang tidak linier, seringkali membutuhkan analisis selisih berulang.
4. Aplikasi Pola Bilangan: Penerapan konsep pola bilangan dalam konteks masalah nyata.

Mari kita selami contoh-contoh soal yang mewakili setiap sub-topik ini.

>

Bagian 1: Barisan dan Deret Aritmetika

Barisan aritmetika adalah urutan bilangan di mana selisih antara dua suku berurutan selalu konstan. Selisih ini disebut beda ($boldsymbolb$). Rumus umum suku ke-n barisan aritmetika adalah:

$boldsymbolU_n = a + (n-1)b$

Di mana:

• $U_n$ adalah suku ke-n
• $a$ adalah suku pertama
• $n$ adalah nomor suku
• $b$ adalah beda

Jumlah $n$ suku pertama deret aritmetika dapat dihitung dengan dua rumus:

$boldsymbolS_n = fracn2(a + U_n)$
atau
$boldsymbolS_n = fracn2(2a + (n-1)b)$

Contoh Soal 1.1:

Sebuah barisan aritmetika memiliki suku pertama 5 dan beda 3. Tentukan suku ke-10 dan jumlah 10 suku pertama barisan tersebut.

Pembahasan:

Diketahui:

• Suku pertama ($a$) = 5
• Beda ($b$) = 3
• Kita ingin mencari suku ke-10 ($U10$) dan jumlah 10 suku pertama ($S10$).

Mencari suku ke-10 ($U_10$):
Menggunakan rumus $Un = a + (n-1)b$:
$U10 = 5 + (10-1) times 3$
$U10 = 5 + (9) times 3$
$U10 = 5 + 27$
$U_10 = 32$

Jadi, suku ke-10 dari barisan tersebut adalah 32.

Mencari jumlah 10 suku pertama ($S_10$):
Kita bisa menggunakan salah satu rumus jumlah deret aritmetika. Mari kita gunakan rumus kedua yang lebih langsung:
$S10 = frac102(2a + (10-1)b)$
$S10 = 5(2 times 5 + (9) times 3)$
$S10 = 5(10 + 27)$
$S10 = 5(37)$
$S_10 = 185$

Atau, kita bisa menggunakan rumus pertama setelah menemukan $U10$:
$S10 = frac102(a + U10)$
$S10 = 5(5 + 32)$
$S10 = 5(37)$
$S10 = 185$

Jadi, jumlah 10 suku pertama barisan tersebut adalah 185.

Contoh Soal 1.2:

Dalam sebuah gedung pertunjukan, baris kursi pertama memiliki 12 kursi. Setiap baris berikutnya memiliki 2 kursi lebih banyak dari baris sebelumnya. Jika gedung tersebut memiliki 25 baris, berapa total jumlah kursi di gedung tersebut?

Pembahasan:

Ini adalah masalah barisan aritmetika.

• Suku pertama ($a$) = 12 (jumlah kursi di baris pertama)
• Beda ($b$) = 2 (penambahan kursi di setiap baris berikutnya)
• Jumlah baris ($n$) = 25

Kita perlu mencari jumlah total kursi, yang berarti kita perlu mencari jumlah 25 suku pertama deret aritmetika ($S_25$).

Menggunakan rumus $Sn = fracn2(2a + (n-1)b)$:
$S25 = frac252(2 times 12 + (25-1) times 2)$
$S25 = frac252(24 + (24) times 2)$
$S25 = frac252(24 + 48)$
$S25 = frac252(72)$
$S25 = 25 times 36$
$S_25 = 900$

Jadi, total jumlah kursi di gedung tersebut adalah 900.

>

Bagian 2: Barisan dan Deret Geometri

Barisan geometri adalah urutan bilangan di mana rasio (perbandingan) antara dua suku berurutan selalu konstan. Rasio ini disebut rasio ($boldsymbolr$). Rumus umum suku ke-n barisan geometri adalah:

$boldsymbolU_n = a cdot r^n-1$

Di mana:

• $U_n$ adalah suku ke-n
• $a$ adalah suku pertama
• $n$ adalah nomor suku
• $r$ adalah rasio

Jumlah $n$ suku pertama deret geometri dapat dihitung dengan rumus:

Untuk $boldsymbolr neq 1$:
$boldsymbolS_n = a frac1 – r^n1 – r$ atau $boldsymbolS_n = a fracr^n – 1r – 1$

Untuk $boldsymbolr = 1$:
$boldsymbolS_n = n cdot a$

Contoh Soal 2.1:

Sebuah barisan geometri memiliki suku pertama 4 dan rasio 2. Tentukan suku ke-5 dan jumlah 5 suku pertama barisan tersebut.

Pembahasan:

Diketahui:

• Suku pertama ($a$) = 4
• Rasio ($r$) = 2
• Kita ingin mencari suku ke-5 ($U_5$) dan jumlah 5 suku pertama ($S_5$).

Mencari suku ke-5 ($U_5$):
Menggunakan rumus $U_n = a cdot r^n-1$:
$U_5 = 4 cdot 2^5-1$
$U_5 = 4 cdot 2^4$
$U_5 = 4 cdot 16$
$U_5 = 64$

Jadi, suku ke-5 dari barisan tersebut adalah 64.

Mencari jumlah 5 suku pertama ($S_5$):
Karena $r = 2 neq 1$, kita gunakan rumus $S_n = a fracr^n – 1r – 1$:
$S_5 = 4 frac2^5 – 12 – 1$
$S_5 = 4 frac32 – 11$
$S_5 = 4 times 31$
$S_5 = 124$

Jadi, jumlah 5 suku pertama barisan tersebut adalah 124.

Contoh Soal 2.2:

Seorang anak menabung uang di bank. Pada bulan pertama ia menabung Rp10.000. Setiap bulan berikutnya, ia menabung dua kali lipat dari bulan sebelumnya. Berapa total uang yang ditabung anak tersebut selama 6 bulan?

Pembahasan:

Ini adalah masalah barisan geometri.

• Suku pertama ($a$) = Rp10.000 (tabungan bulan pertama)
• Rasio ($r$) = 2 (tabungan menjadi dua kali lipat setiap bulan)
• Jumlah bulan ($n$) = 6

Kita perlu mencari total uang yang ditabung selama 6 bulan, yaitu jumlah 6 suku pertama deret geometri ($S_6$).

Menggunakan rumus $S_n = a fracr^n – 1r – 1$:
$S_6 = 10.000 frac2^6 – 12 – 1$
$S_6 = 10.000 frac64 – 11$
$S_6 = 10.000 times 63$
$S_6 = 630.000$

Jadi, total uang yang ditabung anak tersebut selama 6 bulan adalah Rp630.000.

>

Bagian 3: Pola Bilangan Tingkat Dua dan Seterusnya

Tidak semua pola bilangan mengikuti pola aritmetika atau geometri. Beberapa pola memerlukan analisis perbedaan antar suku berulang kali untuk menemukan aturan dasarnya. Pola bilangan tingkat dua adalah pola di mana perbedaan kedua antar suku berurutan adalah konstan.

Misalkan kita memiliki barisan $U_1, U_2, U_3, U_4, ldots$

Langkah-langkah untuk menemukan pola tingkat dua:

1. Hitung perbedaan tingkat pertama: $Delta_1 = U_2 – U_1$, $U_3 – U_2$, $U_4 – U_3$, dst.
2. Jika perbedaan tingkat pertama tidak konstan, hitung perbedaan tingkat kedua: $Delta2 = Delta1,2 – Delta1,1$, $Delta1,3 – Delta_1,2$, dst.
3. Jika perbedaan tingkat kedua konstan, maka pola tersebut adalah tingkat dua.

Rumus umum untuk pola bilangan tingkat dua adalah bentuk kuadratik:
$boldsymbolU_n = An^2 + Bn + C$

Untuk menemukan nilai $A, B, C$, kita bisa menggunakan beberapa pendekatan:

• Substitusi: Gunakan beberapa suku pertama untuk membentuk sistem persamaan linear.
• Hubungan dengan Perbedaan:
  • $2A = textbeda tingkat kedua$
  • $3A + B = textsuku pertama perbedaan tingkat pertama$
  • $A + B + C = textsuku pertama barisan$

Contoh Soal 3.1:

Temukan suku ke-n dan suku ke-10 dari barisan bilangan: 2, 5, 10, 17, 26, …

Pembahasan:

Mari kita analisis perbedaan antar suku:

Barisan: 2, 5, 10, 17, 26
Perbedaan tingkat 1: 3, 5, 7, 9
Perbedaan tingkat 2: 2, 2, 2

Karena perbedaan tingkat kedua konstan (yaitu 2), maka ini adalah pola bilangan tingkat dua dengan rumus $U_n = An^2 + Bn + C$.

Menggunakan hubungan dengan perbedaan:

• $2A = 2 implies A = 1$
• $3A + B = 3$ (suku pertama perbedaan tingkat 1)
  $3(1) + B = 3 implies 3 + B = 3 implies B = 0$
• $A + B + C = 2$ (suku pertama barisan)
  $1 + 0 + C = 2 implies 1 + C = 2 implies C = 1$

Jadi, rumus suku ke-n adalah:
$U_n = 1n^2 + 0n + 1$
$boldsymbolU_n = n^2 + 1$

Sekarang, kita bisa menemukan suku ke-10:
$U10 = 10^2 + 1$
$U10 = 100 + 1$
$U_10 = 101$

Jadi, rumus suku ke-n adalah $U_n = n^2 + 1$ dan suku ke-10 adalah 101.

Contoh Soal 3.2:

Jumlah bola pada susunan segitiga adalah sebagai berikut:
Susunan 1: 1 bola
Susunan 2: 3 bola
Susunan 3: 6 bola
Susunan 4: 10 bola

Tentukan rumus jumlah bola pada susunan ke-n, dan hitung jumlah bola pada susunan ke-7.

Pembahasan:

Barisan jumlah bola: 1, 3, 6, 10
Perbedaan tingkat 1: 2, 3, 4
Perbedaan tingkat 2: 1, 1

Karena perbedaan tingkat kedua konstan (yaitu 1), ini adalah pola bilangan tingkat dua. Rumusnya $U_n = An^2 + Bn + C$.

Menggunakan hubungan dengan perbedaan:

• $2A = 1 implies A = frac12$
• $3A + B = 2$ (suku pertama perbedaan tingkat 1)
  $3(frac12) + B = 2 implies frac32 + B = 2 implies B = 2 – frac32 = frac42 – frac32 = frac12$
• $A + B + C = 1$ (suku pertama barisan)
  $frac12 + frac12 + C = 1 implies 1 + C = 1 implies C = 0$

Jadi, rumus suku ke-n adalah:
$U_n = frac12n^2 + frac12n + 0$
$boldsymbolU_n = fracn(n+1)2$

Rumus ini dikenal sebagai rumus bilangan segitiga.

Sekarang, kita hitung jumlah bola pada susunan ke-7:
$U_7 = frac7(7+1)2$
$U_7 = frac7 times 82$
$U_7 = frac562$
$U_7 = 28$

Jadi, jumlah bola pada susunan ke-7 adalah 28.

>

Bagian 4: Aplikasi Pola Bilangan dalam Konteks Nyata

Konsep pola bilangan seringkali muncul dalam soal cerita yang menguji pemahaman siswa dalam menerjemahkan situasi dunia nyata ke dalam model matematika.

Contoh Soal 4.1:

Seorang petani menanam bibit pohon mangga. Pada tahun pertama, ia menanam 10 pohon. Pada tahun kedua, ia menanam 15 pohon. Pada tahun ketiga, ia menanam 20 pohon, dan seterusnya. Jika pola penanaman terus berlanjut, berapa total pohon mangga yang ditanam petani tersebut selama 8 tahun?

Pembahasan:

Pola penanaman pohon per tahun adalah: 10, 15, 20, …
Ini adalah barisan aritmetika.

• Suku pertama ($a$) = 10
• Beda ($b$) = 15 – 10 = 5
• Jumlah tahun ($n$) = 8

Kita perlu mencari total pohon yang ditanam selama 8 tahun, yaitu jumlah 8 suku pertama deret aritmetika ($S_8$).

Menggunakan rumus $S_n = fracn2(2a + (n-1)b)$:
$S_8 = frac82(2 times 10 + (8-1) times 5)$
$S_8 = 4(20 + (7) times 5)$
$S_8 = 4(20 + 35)$
$S_8 = 4(55)$
$S_8 = 220$

Jadi, total pohon mangga yang ditanam petani tersebut selama 8 tahun adalah 220 pohon.

Contoh Soal 4.2:

Sebuah bakteri membelah diri menjadi dua setiap jam. Jika awalnya terdapat 5 bakteri, berapa jumlah bakteri setelah 5 jam?

Pembahasan:

Ini adalah masalah pertumbuhan eksponensial yang dapat dimodelkan dengan barisan geometri.

• Suku pertama ($a$) = 5 (jumlah bakteri awal)
• Rasio ($r$) = 2 (membelah diri menjadi dua)
• Waktu ($n$) = 5 jam. Perlu diperhatikan bahwa "setelah 5 jam" berarti kita mencari suku ke-6 jika kita menganggap jam ke-0 sebagai suku pertama. Namun, jika kita menafsirkan "setelah 5 jam" sebagai jumlah pembelahan yang terjadi, maka $n=5$ bisa digunakan untuk mencari suku ke-6. Mari kita gunakan $n=5$ sebagai jumlah periode pembelahan. Suku ke-n adalah jumlah bakteri setelah $n-1$ jam.

Jika kita menghitung jumlah bakteri pada akhir setiap jam:
Jam 0 (awal): 5 bakteri ($U_1$)
Jam 1: $5 times 2 = 10$ bakteri ($U_2$)
Jam 2: $10 times 2 = 20$ bakteri ($U_3$)
Jam 3: $20 times 2 = 40$ bakteri ($U_4$)
Jam 4: $40 times 2 = 80$ bakteri ($U_5$)
Jam 5: $80 times 2 = 160$ bakteri ($U_6$)

Jadi, kita perlu mencari suku ke-6 ($U_6$).
Menggunakan rumus $U_n = a cdot r^n-1$:
$U_6 = 5 cdot 2^6-1$
$U_6 = 5 cdot 2^5$
$U_6 = 5 cdot 32$
$U_6 = 160$

Jika pertanyaannya adalah berapa jumlah bakteri setelah 5 jam pembelahan, maka ada 5 kali pembelahan.
Jumlah bakteri = $5 times 2^5 = 5 times 32 = 160$.

Jadi, jumlah bakteri setelah 5 jam adalah 160 bakteri.

>

Tips Menghadapi Soal Pola Bilangan:

1. Identifikasi Jenis Pola: Selalu periksa apakah pola tersebut aritmetika (beda konstan), geometri (rasio konstan), atau tingkat kedua (perbedaan kedua konstan).
2. Tuliskan Suku-suku Awal: Menuliskan beberapa suku awal secara eksplisit sangat membantu dalam mengidentifikasi pola.
3. Perhatikan Konteks Soal: Terutama pada soal cerita, pahami apakah yang ditanyakan adalah suku tertentu, jumlah suku, atau nilai dalam periode tertentu.
4. Gunakan Rumus dengan Tepat: Pastikan Anda menggunakan rumus yang benar untuk barisan/deret aritmetika atau geometri.
5. Latihan Soal Bervariasi: Kerjakan berbagai jenis soal, dari yang paling dasar hingga yang lebih kompleks, untuk memperdalam pemahaman.
6. Periksa Kembali Jawaban: Setelah mendapatkan jawaban, coba substitusikan kembali ke dalam rumus atau logika Anda untuk memastikan kebenarannya.

Kesimpulan:

Bab Pola Bilangan di kelas 11 semester 2 merupakan materi fundamental yang melatih kemampuan berpikir logis dan analitis. Dengan memahami konsep barisan dan deret aritmetika, geometri, serta pola bilangan tingkat dua, siswa dapat menyelesaikan berbagai jenis soal, baik yang bersifat teoritis maupun aplikatif. Kunci keberhasilan terletak pada identifikasi pola yang tepat, penggunaan rumus yang akurat, dan latihan yang konsisten. Dengan menguasai bab ini, siswa akan memiliki bekal yang kuat untuk menghadapi materi matematika yang lebih lanjut.

>