Contoh soal kelas 10 semester 2 fungsi rasional

Menjelajahi Dunia Fungsi Rasional: Contoh Soal Kelas 10 Semester 2

Fungsi rasional merupakan salah satu konsep penting dalam matematika yang seringkali menjadi batu loncatan untuk memahami fungsi-fungsi yang lebih kompleks di jenjang pendidikan selanjutnya. Di kelas 10 semester 2, materi ini diperkenalkan dengan tujuan agar siswa mampu memahami definisi, karakteristik, serta berbagai penerapannya. Artikel ini akan membahas secara mendalam mengenai fungsi rasional melalui berbagai contoh soal yang relevan, dilengkapi dengan penjelasan langkah demi langkah.

Apa Itu Fungsi Rasional?

Secara sederhana, fungsi rasional adalah fungsi yang dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan, di mana pembilang dan penyebutnya adalah polinomial. Jika kita memiliki dua polinomial, $P(x)$ dan $Q(x)$, maka fungsi rasional $f(x)$ dapat ditulis sebagai:

$f(x) = fracP(x)Q(x)$

dengan syarat $Q(x) neq 0$.

Kondisi $Q(x) neq 0$ sangat krusial karena pembagian dengan nol tidak terdefinisi. Inilah yang kemudian melahirkan konsep penting dalam fungsi rasional, yaitu domain dan asimtot tegak.

Domain Fungsi Rasional

Domain dari sebuah fungsi adalah himpunan semua nilai input (nilai $x$) yang membuat fungsi tersebut terdefinisi. Untuk fungsi rasional, domainnya adalah semua bilangan real, kecuali nilai-nilai $x$ yang membuat penyebutnya nol.

Asimtot Tegak

Garis vertikal $x = a$ disebut asimtot tegak dari fungsi rasional $f(x)$ jika nilai $f(x)$ cenderung menuju tak terhingga (positif atau negatif) ketika $x$ mendekati $a$. Asimtot tegak ini biasanya terjadi pada nilai-nilai $x$ yang membuat penyebut fungsi rasional menjadi nol.

Asimtot Datar

Garis horizontal $y = b$ disebut asimtot datar dari fungsi rasional $f(x)$ jika nilai $f(x)$ cenderung mendekati $b$ ketika nilai mutlak $x$ menjadi sangat besar (positif atau negatif). Penentuan asimtot datar bergantung pada perbandingan derajat polinomial pembilang dan penyebut.

Contoh Soal 1: Menentukan Domain dan Asimtot Tegak

Soal: Tentukan domain dan asimtot tegak dari fungsi rasional berikut:
$f(x) = fracx+2x-3$

Pembahasan:

1. Menentukan Domain:
   Untuk menentukan domain, kita perlu mencari nilai $x$ yang membuat penyebutnya nol.
   Penyebutnya adalah $x-3$.
   Setel $x-3 = 0$.
   Maka, $x = 3$.
   Jadi, fungsi ini tidak terdefinisi ketika $x=3$.
   Domain dari fungsi $f(x)$ adalah semua bilangan real kecuali 3. Dalam notasi himpunan, domainnya adalah $x in mathbbR mid x neq 3$.

2. Menentukan Asimtot Tegak:
   Asimtot tegak terjadi pada nilai $x$ yang membuat penyebut nol. Dari langkah sebelumnya, kita tahu bahwa penyebutnya nol ketika $x=3$.
   Jadi, asimtot tegaknya adalah garis $x = 3$.

Contoh Soal 2: Menentukan Domain dan Asimtot Tegak pada Polinomial Derajat Lebih Tinggi

Soal: Tentukan domain dan asimtot tegak dari fungsi rasional berikut:
$g(x) = fracx^2 – 4x^2 – 5x + 6$

Pembahasan:

1. Menentukan Domain:
   Kita perlu mencari nilai $x$ yang membuat penyebutnya nol.
   Penyebutnya adalah $x^2 – 5x + 6$.
   Faktorkan penyebutnya: $x^2 – 5x + 6 = (x-2)(x-3)$.
   Setel $(x-2)(x-3) = 0$.
   Ini memberikan kita dua solusi: $x-2 = 0 implies x = 2$, dan $x-3 = 0 implies x = 3$.
   Jadi, fungsi ini tidak terdefinisi ketika $x=2$ atau $x=3$.
   Domain dari fungsi $g(x)$ adalah $x in mathbbR mid x neq 2 text dan x neq 3$.

2. Menentukan Asimtot Tegak:
   Asimtot tegak terjadi pada nilai-nilai $x$ yang membuat penyebut nol. Dari langkah sebelumnya, kita tahu bahwa penyebutnya nol ketika $x=2$ dan $x=3$.
   Jadi, asimtot tegaknya adalah garis $x = 2$ dan $x = 3$.

   Catatan Penting: Dalam kasus ini, kita juga perlu memeriksa apakah ada faktor yang sama antara pembilang dan penyebut.
   Pembilang: $x^2 – 4 = (x-2)(x+2)$.
   Faktor $(x-2)$ ada di pembilang dan penyebut. Ketika ada faktor yang sama, ini menunjukkan adanya lubang (hole) pada grafik fungsi, bukan asimtot tegak.
   Fungsi dapat disederhanakan menjadi:
   $g(x) = frac(x-2)(x+2)(x-2)(x-3) = fracx+2x-3$, dengan syarat $x neq 2$ dan $x neq 3$.
   Meskipun kita menyederhanakan fungsi, domain aslinya tetap berlaku.
   Jadi, meskipun ada penyederhanaan, asimtot tegak masih ditentukan oleh akar penyebut yang tidak dapat dibatalkan oleh akar pembilang. Dalam kasus ini, akar penyebut $x=3$ tidak dapat dibatalkan.
   Asimtot tegak dari $g(x)$ adalah $x = 3$.
   Pada $x=2$, terdapat lubang pada grafik. Nilai $y$ pada lubang tersebut dapat dicari dengan mensubstitusikan $x=2$ ke dalam bentuk yang disederhanakan: $frac2+22-3 = frac4-1 = -4$. Jadi, lubangnya berada di titik $(2, -4)$.

Contoh Soal 3: Menentukan Asimtot Datar

Soal: Tentukan asimtot datar dari fungsi rasional berikut:
$h(x) = frac3x^2 + 2x – 12x^2 – 7x + 5$

Pembahasan:

Untuk menentukan asimtot datar, kita membandingkan derajat polinomial pembilang dan penyebut.
Derajat pembilang (polinomial $3x^2 + 2x – 1$) adalah 2.
Derajat penyebut (polinomial $2x^2 – 7x + 5$) adalah 2.

Ada tiga kasus umum dalam menentukan asimtot datar:

• Kasus 1: Derajat pembilang < Derajat penyebut.
  Asimtot datarnya adalah $y = 0$.

• Kasus 2: Derajat pembilang = Derajat penyebut.
  Asimtot datarnya adalah $y = fractextkoefisien suku tertinggi pembilangtextkoefisien suku tertinggi penyebut$.

• Kasus 3: Derajat pembilang > Derajat penyebut.
  Tidak ada asimtot datar. Jika derajat pembilang lebih besar satu dari derajat penyebut, maka ada asimtot miring (oblique asymptote).

Pada soal $h(x)$, derajat pembilang sama dengan derajat penyebut (keduanya adalah 2).
Koefisien suku tertinggi pembilang adalah 3.
Koefisien suku tertinggi penyebut adalah 2.

Maka, asimtot datarnya adalah $y = frac32$.

Contoh Soal 4: Kombinasi Asimtot Tegak dan Datar

Soal: Tentukan domain, asimtot tegak, dan asimtot datar dari fungsi rasional:
$k(x) = frac2x – 6x + 4$

Pembahasan:

1. Menentukan Domain:
   Penyebutnya adalah $x+4$.
   Setel $x+4 = 0$.
   Maka, $x = -4$.
   Domain: $x in mathbbR mid x neq -4$.

2. Menentukan Asimtot Tegak:
   Penyebut nol ketika $x = -4$.
   Asimtot tegak: $x = -4$.

3. Menentukan Asimtot Datar:
   Derajat pembilang ($2x-6$) adalah 1.
   Derajat penyebut ($x+4$) adalah 1.
   Karena derajat pembilang sama dengan derajat penyebut, asimtot datarnya adalah perbandingan koefisien suku tertinggi.
   Koefisien suku tertinggi pembilang = 2.
   Koefisien suku tertinggi penyebut = 1.
   Asimtot datar: $y = frac21 = 2$.

Contoh Soal 5: Menentukan Titik Potong Sumbu

Soal: Tentukan titik potong sumbu-x dan sumbu-y dari fungsi rasional:
$m(x) = fracx – 1x + 2$

Pembahasan:

1. Titik Potong Sumbu-x:
   Titik potong sumbu-x terjadi ketika nilai $y$ (atau $m(x)$) adalah nol. Untuk fungsi rasional, ini terjadi ketika pembilangnya nol (dengan syarat penyebutnya tidak nol pada nilai $x$ tersebut).
   Setel pembilang sama dengan nol: $x – 1 = 0$.
   Maka, $x = 1$.
   Periksa apakah penyebut nol pada $x=1$: $1+2 = 3 neq 0$. Jadi, titik potong sumbu-x adalah $(1, 0)$.

2. Titik Potong Sumbu-y:
   Titik potong sumbu-y terjadi ketika nilai $x$ adalah nol. Kita substitusikan $x=0$ ke dalam fungsi.
   $m(0) = frac0 – 10 + 2 = frac-12$.
   Jadi, titik potong sumbu-y adalah $(0, -frac12)$.

Contoh Soal 6: Menggambar Sketsa Grafik Fungsi Rasional

Soal: Buatlah sketsa grafik dari fungsi rasional $f(x) = fracx-1x-2$, dengan menunjukkan domain, asimtot tegak, asimtot datar, dan titik potong sumbu.

Pembahasan:

1. Domain:
   Penyebut $x-2 = 0 implies x=2$.
   Domain: $x in mathbbR mid x neq 2$.

2. Asimtot Tegak:
   Garis $x=2$.

3. Asimtot Datar:
   Derajat pembilang = 1, derajat penyebut = 1.
   Asimtot datar: $y = frac11 = 1$.

4. Titik Potong Sumbu-x:
   Pembilang $x-1 = 0 implies x=1$.
   Titik potong sumbu-x: $(1, 0)$.

5. Titik Potong Sumbu-y:
   $f(0) = frac0-10-2 = frac-1-2 = frac12$.
   Titik potong sumbu-y: $(0, frac12)$.

6. Titik Uji (Opsional namun disarankan):
   Untuk membantu menggambar, kita bisa mengambil beberapa titik di sekitar asimtot.

   • Ambil $x=3$: $f(3) = frac3-13-2 = frac21 = 2$. Titik $(3, 2)$.
   • Ambil $x=0.5$: $f(0.5) = frac0.5-10.5-2 = frac-0.5-1.5 = frac13$. Titik $(0.5, frac13)$.
   • Ambil $x=0$: sudah didapat $(0, frac12)$.
   • Ambil $x=1$: sudah didapat $(1, 0)$.
   • Ambil $x=-1$: $f(-1) = frac-1-1-1-2 = frac-2-3 = frac23$. Titik $(-1, frac23)$.
   • Ambil $x=-2$: $f(-2) = frac-2-1-2-2 = frac-3-4 = frac34$. Titik $(-2, frac34)$.

7. Menggambar Sketsa:

   • Gambar sumbu-x dan sumbu-y.

   • Gambarkan garis putus-putus untuk asimtot tegak ($x=2$) dan asimtot datar ($y=1$).

   • Tandai titik potong sumbu-x $(1, 0)$ dan sumbu-y $(0, frac12)$.

   • Perhatikan perilaku fungsi di sekitar asimtot:

     • Ketika $x$ mendekati 2 dari kanan ($x>2$), penyebut positif dan kecil, pembilang positif, sehingga $f(x)$ menuju positif tak terhingga.
     • Ketika $x$ mendekati 2 dari kiri ($x<2$), penyebut negatif dan kecil, pembilang negatif, sehingga $f(x)$ menuju positif tak terhingga. (Kesalahan di sini, mari koreksi).
     • Ketika $x$ mendekati 2 dari kiri ($x<2$), pembilang negatif (misal $x=1.9$, $1.9-1 = 0.9 > 0$).
     • Ketika $x$ mendekati 2 dari kiri ($x<2$), pembilang $x-1$. Jika $x$ mendekati 2 dari kiri, $x-1$ akan positif.
     • Ketika $x$ mendekati 2 dari kiri ($x<2$), penyebut $x-2$ akan negatif dan mendekati nol.
     • Jadi, ketika $x$ mendekati 2 dari kiri, $f(x) = fractextpositiftextnegatif kecil to -infty$.
     • Ketika $x$ mendekati 2 dari kanan ($x>2$), pembilang $x-1$ akan positif.
     • Ketika $x$ mendekati 2 dari kanan ($x>2$), penyebut $x-2$ akan positif dan mendekati nol.
     • Jadi, ketika $x$ mendekati 2 dari kanan, $f(x) = fractextpositiftextpositif kecil to +infty$.

   • Gunakan titik-titik uji untuk melengkapi bentuk kurva di setiap bagian grafik yang dibatasi oleh asimtot.

     • Di sebelah kiri asimtot tegak ($x < 2$): Grafik akan melewati $(0, frac12)$, $(1, 0)$, dan $(-1, frac23)$. Kurva akan mendekati asimtot datar $y=1$ saat $x to -infty$ dan menuju $-infty$ saat $x to 2^-$.
     • Di sebelah kanan asimtot tegak ($x > 2$): Grafik akan melewati $(3, 2)$. Kurva akan mendekati asimtot datar $y=1$ saat $x to +infty$ dan menuju $+infty$ saat $x to 2^+$.

Contoh Soal 7: Fungsi Rasional dengan Pembilang dan Penyebut Derajat Berbeda

Soal: Tentukan domain, asimtot tegak, dan asimtot datar dari fungsi rasional:
$p(x) = fracx^2 + 1x – 1$

Pembahasan:

1. Domain:
   Penyebut $x-1 = 0 implies x=1$.
   Domain: $x in mathbbR mid x neq 1$.

2. Asimtot Tegak:
   Garis $x=1$.

3. Asimtot Datar:
   Derajat pembilang ($x^2+1$) adalah 2.
   Derajat penyebut ($x-1$) adalah 1.
   Karena derajat pembilang > derajat penyebut, maka tidak ada asimtot datar.
   Namun, karena derajat pembilang tepat satu lebih besar dari derajat penyebut, fungsi ini memiliki asimtot miring (oblique asymptote). Untuk menemukannya, kita dapat melakukan pembagian polinomial.

   $x^2 + 1 div (x – 1)$

       x + 1
     _______
   x-1 | x^2 + 0x + 1
       -(x^2 - x)
       _________
             x + 1
           -(x - 1)
           _______
                 2

   Jadi, $fracx^2 + 1x – 1 = x + 1 + frac2x – 1$.
   Saat $|x|$ menjadi sangat besar, suku $frac2x – 1$ akan mendekati nol.
   Oleh karena itu, asimtot miringnya adalah garis $y = x + 1$.

Tips dan Trik Tambahan:

• Selalu periksa penyederhanaan: Jika ada faktor yang sama di pembilang dan penyebut, itu menandakan adanya lubang pada grafik. Asimtot tegak hanya berasal dari akar penyebut yang tidak bisa dibatalkan.
• Pahami konsep limit: Konsep limit sangat membantu dalam memahami perilaku fungsi rasional di dekat asimtot.
• Gunakan titik uji: Mengambil beberapa titik uji, terutama di sekitar asimtot tegak, akan sangat membantu dalam menggambar sketsa grafik yang akurat.
• Perhatikan tanda: Perhatikan tanda positif dan negatif dari pembilang dan penyebut saat mendekati asimtot tegak untuk menentukan arah grafik.

Kesimpulan

Fungsi rasional memiliki karakteristik unik yang ditentukan oleh pembilang dan penyebutnya. Memahami domain, asimtot tegak, asimtot datar, dan titik potong sumbu adalah kunci untuk menganalisis dan menggambar grafiknya. Melalui latihan soal yang beragam, siswa dapat membangun pemahaman yang kuat tentang konsep ini, yang akan sangat berguna dalam studi matematika selanjutnya. Dengan menguasai contoh-contoh soal yang disajikan di atas, diharapkan siswa kelas 10 semester 2 dapat lebih percaya diri dalam menghadapi materi fungsi rasional.

>